何為數學，以及為何 1+1 ＝2
我們從出生的那一刻起就被就被貼上各種數字：出生日期、身份證號、入學學號，我們每天仰賴數字來決定起床時間，出門買早餐時用數字交易，通勤時用數字衡量距離時間，過程中無聊的拿出手機，發現昨天的貼文多了「兩」個讚。然後走到某某街「一」號，搭電梯上「四」樓，開始你的工作。前述還只是最簡單的數字，在所有科技的背後，也都有更複雜的數學在運作。就連藝術領域也不與數學無緣，音樂的旋律、節拍或是頻率也都與數學習習相關，想要精準的描述顏色或是掌控創作媒材性質，數學也可以是很好的幫手。作為現今生活中不可或缺的部份，每一個人從幼稚園起就要學習數學。我相信，一個人如果有基本的好奇心，就應該問過「數學是什麼」這樣的問題，或是，最初學加減乘除的時候可能也問過「為什麼 1+1=2」、「為什麼不可以除以 0」。到了高中大學，學到更進階的數學，我們可能也問過「為什麼排列組合中的 0! = 1」、「0 的 0 次方是什麼」、「虛數是真的數字嗎」這類問題。或者，一個不太一樣的問題，為什麼世界上的各種現象在某種程度上幾乎都可以被用數學描述？我希望的是在這篇文章中可以給出一個令人滿意的答案。
數字的起源
數學就像所有其他工具包括語言一樣，他是由前人傳下來的工具。使用這樣的工具的問題就是很多時候我們不知道為什麼這個工具要這樣設計，偏偏這些東西的說明書並不寫在他們臉上。再者由於大多數的工具使用者其實也不在乎，也通常不追問這些問題，所以時間久了就沒有人真正了解這些工具的設計動機了。舉例來說，當我們看到一台造型亮麗的跑車時，第一個想法通常不會是去想為什麼他的外形會這樣設計而只會覺得它酷炫，只有在更深入的了解後才會發現其中其實有空氣力學的考量。或是當我在寫這一篇文章時，並不會去思考為什麼「為什麼」這三個字要這樣寫，而只在乎當下我可以用它表達我的想法，但仔細追究也可能會在甲骨文中發現其淵源，此時我們才了解這些字詞當初被創造的動機。所以，當我們想要了解數字是什麼或是為何某些運算規則被如此定義時，應當就要了解當初這些東西是在什麼樣的情境下被創造出來，如此我們就有可能看的更清楚數學作為怎樣的角色存在於世界上。
與其把歷史書上的關於最早數字的資料抄過來，在這裡我想要藉由玩一個關於香蕉的遊戲，來看到數字的概念如何自然的產生。遊戲規則很簡單，就是將眼前的香蕉給描繪下來：
想要做到這件事，我們可以用許多方法，我們可以竭盡全力將我們所看到的細節畫下來，得到一張關於香蕉的油畫或是水彩畫。我們也可以稍微偷懶一點，只用素描來描繪香蕉，如此來省去上色的麻煩。或者，如果我們只有 30 秒鐘的話，我們可能就會畫出這樣的東西：
上面的草圖，可以視為一種抽象的表示法。抽象即為對不重要的細節的忽略。當我以上述的方式來描繪香蕉時，我不只丟掉了香蕉立體形狀、香氣等等資訊，當然也丟掉了顏色、光線、地點所有這些資訊。如果我們只在乎香蕉的數目，因而進一步抽象，忽略上圖中香蕉粗略的形狀的話，我就可以用 |||| 這樣的符號來表示原本那一串香蕉。最後的 |||| 這個符號，其實也就是我們目前所知最早數字的形式。一旦我們建立了這樣一個「描繪數目的遊戲」，我們也可以嘗試在這樣的遊戲中模擬將兩堆香蕉放在一起的動作，如果第一堆香蕉被我描繪為 |||，第二堆香蕉描繪為 ||，那麼很自然的我們就可以說兩堆香蕉放在一起應該是 |||||，在這裡我們已經逐漸得到像加法的東西。在上面的過程中，為了單純要描述香蕉，我已經構建出這樣的一套規則：
儘管我們今日大多數時候是使用阿拉伯數字來描述數量，但兩者之間—— 就目前在香蕉遊戲的應用上——是差不多的東西，正式一點說，他們是「同構」的。在抽象代數中，我們說兩個數學結構同構的意思簡單來說是，兩個結構只是表面的符號與運算看起來不同，但基本上是在做一樣的事。如果舉生活中的例子來說，我們都知道剪刀石頭布怎麼玩，布勝過石頭，石頭勝過剪刀而剪刀勝過布。但如果我今天把遊戲規則改成，石頭勝過布，剪刀勝過石頭而布勝過剪刀，你會發現我們仍然在玩一樣的遊戲。這個新的遊戲只不過是把原本的遊戲規則中的「布」與「石頭」做文字上的調換罷了，玩起來除了符號以外沒什麼不同，所以新的遊戲與舊的遊戲同構。如果把布勝過石頭這個關係畫為布到石頭的箭頭，那這樣的同構關係可以很容易從圖中看出來。對於原本的遊戲中的每一個元素，我們可以把它對應到新的遊戲中的新的元素（剪刀維持剪刀，布變成石頭，石頭變布），使的「勝過」這個關係在重新命名之後還維持有一樣的結構。
同理，如果單單看加法的話，我們也可以把如 |||| 這些原始的符號一一替換成對應的阿拉伯數字，而其中一邊的加法總會像鏡子一樣映照出另一邊的行為，因此他們也是同構的。我們在模擬香蕉行為的過程，就已經發現了自然數，現代的阿拉伯數字只是不同的表示方式。
透過這個遊戲我想建立的第一個觀念是，數字或是各種數學工具，最早的設計動機是作為對現實中物件的抽象描繪或是模擬。藉由在我們打造出來的表示法上面去計算與模擬，我們就會得到對應現實某面向的的結果。但這樣的工具並不是隨意打造，而是要與我們欲描述、關注的面向同構。回顧香蕉的例子，我們原本眼中所見的富有色彩的香蕉，也可以想成不過是一種複雜的符號，而我的認知功能，實做出了從富有色彩的影像映射到 |||| 這樣的函數。由於我在紙上將直線符號 | 併在一起的動作，模擬出將香蕉放在一起的動作，所以你可以說我們採用的符號保存了加法這個結構。至於我的認知系統，為何有從我們對世界的感知中抽象出數量的能力，其中大概參雜了一些先天因素，也有從大量經驗中發現的規律。但不管先天與後天的比例各為多少，這樣的想法會留在我們腦中，大概就說明從世界的狀態中抽象出數量的概念是對我們的生活很重要的。
題外話，我們到今日在畫菜單這類活動時，也都還會使用像是正字記號的記數系統。雖然原始，但他的好處是要對一個數字加一的時候只需要多劃一撇就完成了，反觀阿拉伯數字就需要被擦掉重寫。在另一方面，阿拉伯數字的優點為相對容易閱讀與表達大數字，我們可以就簡單幾個符號就表達出 2022 這個數，但要一根一根畫的話就會畫到死。可以看到，不同的數字表示法雖然在數學上同構，但其又相當於電腦中不一樣的資料結構，在讀寫的容易度上各有優缺點，而聰明（懶惰）的人們自動的就找到了在不同情境中更合適的工具。
數學是遊戲
雖然數學最初被創造出來的動機是為了描述這個世界，可是其實現代數學已經百花齊放 (或是說長歪) ，研究對象已不限於那些在我們體外有所對應的事物。甚至我會說，某些數學研究已單純變成數學家們的遊戲。以數學系的必修代數為例，裡面最先學到就是「群」的概念。一個群基本上就是先規定你遊戲中所要用的元素們 (可以想成是一堆棋子)，然後再規定你要在這些元素上套用的二元運算 (你可以拿兩個棋子給我，我就照遊戲規則換一個對應的棋子給你)，只要這個二元運算——也就是換棋子的規則——符合某些性質 (在這裡不多贅述)，這個遊戲就屬於一種「群」。舉例來說，我可以建立一個遊戲，裡頭有與 0 與 1 兩種棋子 (在這裡的 0 與 1 跟我們平常用的數字無關，就只是符號相同而已)，而用棋子兌換棋子的規則可以用以下的表格來表達：
用兩個 1 可以兌換到 0 的這個過程就可以表達為 1+1=0，同理我們也有 0+0=0, 0+1 = 1 與 1+0=1 這些規則。數學家們未必在乎這些結構會有什麼應用，而只專注在調查這樣的遊戲中會不會有一些有趣的現象發生。例如我們可以注意到如果我們拿 1 + 1 得到 0 ， 再加 1 又回到了 1 ，似乎有一個循環的性質，那數學家可能就會問:「所有的群都會有這種循環的現象嗎？群裡的每個元素都有這種現象嗎？」諸如此類的問題。
代數的其中一種應用為編碼理論，在我們日常的電子設備之間的溝通幾乎都要有加密來防止竊聽，或是透過錯誤更正碼來加強通訊品質，而代數或是數論中的結果就是編碼或是加密理論中很重要的部份。或者，如果回頭看我們前面所定義的遊戲，我們可以說 0 代表不把一張紙翻面，1 代表把一張紙翻面的動作，那麼連翻兩次對應到 1+1=0 也就是相當於沒翻。如果讓自己想像力豐富一點，我們的確會發現生活中的一些結構，是與某些群是同構的。
由於群的定義很廣義，所以其實我們可以自行定義來找到很多種群，大小從手指數的出來的，到天文數字般的「怪獸群¹」或是無限多元素的群都有可能。這些還只是群而已，數學家研究過的還有數不清的各種結構。所以不意外的，在所有的抽象結構裡面，能被找到應用的還是屬於少數。儘管有些例子告訴我們純數學可能會在幾十甚至幾百年後找到應用，但我相信也有很多純數學的研究結果到了人類滅絕的那一天都不會被應用。雖說如此，除了對那些總是講求經濟利益的人之外，這大概也不是問題，畢竟很多數學家可能就是單純覺得這樣的遊戲好玩或是想要對這些結構有更深的認識而做這些研究。在這種意義上，我想數學的確是一種遊戲。如果想看一下當今的數學研究長什麼樣子，可以玩玩「隨機數學論文產生器²」 。雖然這個產生器只是個笑話而沒有合理內容，不過仍很好的反映出當今的數學教授們都在問什麼樣的問題。
不只是關於數字
一開始每個人接觸過的數學可能多是以關於「數量」的計算為主，但其實數學可以做的還有很多，以至於「數」學這個名子已經不再那麼合適了。一個簡單的例子是數學還可以處理「圖」，在這裡的圖的意思是像這樣的一個東西：
只要我們有任何的概念以及概念間的關聯，可以表達成節點以及節點之間的連接，那麼圖論就有應用的可能性。舉例來說，節點可以是地點，而連接可以是實際的道路。或者，節點可以是我需要完成的一件事，而我可以用連接來指向要在這件事前先完成的事。可能的應用要舉例是舉不完的。
當然，當數學家要研究一個圖的結構時，並不總是直接在紙上作畫，而是嘗試先以集合的語言來映照出圖的模樣。我們要嘗試像剛才的香蕉遊戲一樣，找到一個表示法，只保留下來「節點」與「連接」的概念，忽略掉圖中點的位置與彼此距離的概念。以上圖為例，要表示一個圖，我們只需要先用第一個集合 {a,b,c,d} 表達出所有的節點，再用第二個集合 {(a,b),(a,c),(b,d),(c,d)} 表達出所有的連接即可。透過集合的語言，我們就有能力將這樣幾乎沒有數目概念的結構，也納入數學處理的範圍。
如果仔細看看上一段 1+1=0 的這個結構的話，它幾乎也沒有一般數字的概念，不過就是一套遊戲規則。除了這些，像是計算理論裡面的抽象機器或是能夠把咖啡杯看成甜甜圈的拓樸學也很好的說明現代的數學在集合論的幫助下，已經得到一套很彈性的語言，可以讓人們隨意捕捉他們想要的結構到數學的語言當中來玩耍。因此，與其叫做數學，現代數學應該改名為「結構學」也許更為合適。
1 + 1 = 2
經過前面的討論，我們已經差不多能夠回答為何 1 + 1 = 2 的問題了。我們知道自然數有很多種表示法，但彼此都同構。你可以把 2 與 3 的符號調換，並且說 1 + 1 = 3 ， 3 + 1 = 2 與 2 + 1 = 4，你也可以說在二進位中 1 + 1 = 10，但這只是換湯不換藥，底下由加法與乘法所張開的結構仍與之前是一樣的。也就是我們總是可以把二進位的數字一一對映到十進位數並且發現一邊的加法總是映照出另一邊的加法。所以我們不問表面的符號，問題應該是「為什麼我們要使用在底下這樣的結構？」從前面對抽象代數的簡短討論，我們也知道我們可以創造出來的運算結構，或是說遊戲，是無窮多的，為何自然數又可以同時在多個文明命定般的出現並扮演重要角色？把它叫做自然數大概是再合適不過了 (比起「實」數或是「虛」數這些名字) ，因為這樣的結構似乎在世界的各個角落都存在，而且在所有我們可能從自然中擷取的結構中，自然數為相對簡單的且最為實用的。其讓我們表達順序、多少、位置等等概念，並且根據應用各種四則運算也幫助我們描述數量的結合與變化。數學可以想成是我們思考、生活用的一種工具，所以自然數為什麼長這樣的問題，跟我們為什麼使用杯子來裝水，或是為何演化出兩隻腳來走路是同一類的問題。各個文明都發展出數字，就像各個文明可能也都發明過類似的物理工具來狩獵、耕種一樣，也像不同的物種面對類似的環境與生存需求時會「趨同演化」出相同性狀一樣。簡單來說是面對我們共通的生活所需，抽象化出數量的能力由經驗證實是實用甚至是必要的，所以這樣的認知能力、思考模式就被留下來了。我們使用 1+1=2 這樣的結構，是因為它可以幫助我們描述與管理事物，如果我們今天要描述的對象不能被這樣的結構描述，那麼我們就會創造出新的結構，在裡面的運算規則就不會長的一樣。
有些相關的討論會提到有些 1+1 並不等於 2，例如一堆土加一堆土還是一推土，或是一個女人加一個男人得到三個人之類的。但從前面的討論我們知道，數學要運作本來就是要找到對的描述或是同構物，所以這些例子並不是呈現出數學的侷限，而只是挑錯了工具罷了。例如第一個土的例子我們就可以用一個數學結構來描述，即 1+1=1，整個結構就如此而已。事實上，這也是一個群，相當無聊的群。而男女的例子，是否能生育與性別有關，所以一個要反應現實的數學模型必須要捕捉到性別的資訊， 1 + 1 只捕捉了數量的概念顯然不是一個恰當的模擬。
哲學家喜歡說數學是「先驗」的，也就是 1+1 就等於 2 ，我們不需要向外尋找什麼來驗證這的確是對的，但我覺得這並沒有很完整的解釋到數學是什麼。從遊戲的角度來看，一旦我們定義了一個遊戲，遊戲規則本身就會直接是「對」的。而且一旦我們熟悉如何玩這個遊戲，我們就會很直覺的知道 1+1=2，這是他們所說的先驗性。但至於為什麼我們生活中要玩自然數的遊戲，而不是其他任意的數學結構，這則是一個訴諸經驗才能回答的問題。就像我們的感官與認知功能是經由演化的過程所「學」來的，數學結構如自然數，作為我們認知功能的一部分，也必須透過生物演化與文化的共同作用如此長期的「經驗」才決定下來其形狀，在這種意義上，1 + 1 = 2 並不獨立於經驗。
很多數學系的學生可能會想用皮亞諾公理來證明 1 + 1 = 2，或是用集合論的方式來表示自然數，有些人也會提到哲學家羅素在他的數學原理中證明的 1+1 = 2。這些東西也許會幫助數學家用更嚴謹的語言處理自然數，但這些都說不上是一個對於自然數的解釋，更像是一種繞遠路、用符號堆砌出來的障眼法。總的來講，不管是透過集合論或是艱深的形式化邏輯來定義自然數，都不過是先同意了以往熟悉的自然數規則，再以新的語言、表示法來模擬出既有的自然數罷了。就算使用了一個證明的過程，其實不過是把自然數的定義藏到了公理之中，並沒有解釋自然數為何該如此被定義。
所以，要解釋為何 1+1 = 2 (或是說自然數為何長這樣) 這種問題，我們應該跳脫出數學證明的框架來觀察數學與人的關係，從而認識到自然數是人類為了描述世界的狀態而逐漸發展出的認知能力與符號工具。我認為是這樣的分析才解釋了自然數為何必須是現在我們所見的結構。
其他問題
我們還可以觀察，人們喜歡怎樣的工具？人們喜歡怎樣的遊戲？這可以讓我們接著回答像是「0! = 1」等等在文章開頭提到的問題。在所以可以玩的遊戲中，我們喜歡有簡單規則的、有可預測性、沒有例外的。一個數學結構，要嘛它可以正確地反應現實，要嘛他有漂亮的規則讓數學家可以玩耍。網路上其實已經有蠻多相關的影片在解釋「0! = 1」，其中一種的邏輯大致是如此 :
因為對於任意的正整數都滿足前三式的關係，所以 0! 應該也維持那樣的關係，也就是等於 1。但要注意的是其實並沒有哪個公理告訴我們我們應該要使的 0! 維持與其他階乘相同的規律，也就是這並不是一個證明，而是「動機」的說明 ——是關於我們為什麼要如此定義 0! 這樣的符號的動機。它使的我們的遊戲語言有規律且完整，使的 1! 不會有特別的邊界情況要處理，使的一些算式表達顯的容易。如果 0! 沒被定義成 1，那麼像是 n 取 k 的公式就沒辦法優雅的一起處理 k = 0 或是 k= n 的情況，在二項式定理中我們也就必須要把 k = 0 與 k = n 這兩項提出來寫了，醜！(數學家也有其審美觀)
另外有一種理由是說要排列 0 個物件只有一種「排法」，就是空白。但如果我們這樣做，其實也在定義「排法」這詞的意思的邊界情況。所以我們在幹差不多的事——定義我們的語言遊戲使的它能優雅的用「排法」這個概念一起概括 0 個物件的情況。從這裡我們可以看出，不管是語言或是數學 (另一種語言)，我們都偏好沒有特例、可以一同處理各種情況的遊戲規則。
那除以 0 呢？讓我們先問一個問題，你（如果有）為什麼會想問除以 0 的問題？是不是在你的心裡有個聲音說：「如果其他數字都可以放分母，那為何 0 不行？」有趣的是，當你這麼問的時候，你不是像我前段所說的在追求一致的規律性嗎？這是許多人都共有的本性，我們喜歡平滑的理解，而不喜歡柏油路中間無法預期的突起。雖然世界並不是總是那麼完美，但就算撲克牌中有兩張鬼牌也不應該使我們困擾。從數學是為了模擬體外的世界的觀點來看，如果 6 除以 2 是為了模擬將六張牌發給兩個人，並且問每個人有幾張，那麼嘗試將六張牌發給零個人並且問每個人有幾張單純就是不合理的邊界情況，我們也不需要要求它有個答案，所以除以 0 就無定義就好了。單純從數學遊戲的角度來看，如果我今天有合理的動機，我其實也可以說 1 除以 0 為 ∞ 。有些人會說如果算 1/x 讓 x 趨近於零的話，會發現正負兩邊的極限值沒一致，所以不能是無限大。但這只有在我們先同意我們要玩一般的「實分析」這個遊戲，並且我們需要討論的範圍包含負數時才會有這些問題。根據今天要處理的數學問題，如果定義 1 除以 0 為 ∞ 不會引起不一致的問題的話 (例如我們只需要討論非負實數)，這個定義就沒有問題。而且我們也可以把 ∞ 單純當成這個運算結構的一員，而不用把它當成什麼特殊的、非數字的神秘存在。他是我們遊戲中的鬼牌，它與其他的牌有不同的玩法，只要認知到 ∞ 有其獨特的運算規則就不會導出什麼 1 = 2 的矛盾了。
最後還有 0 的 0 次方的問題，但我想我已經不需要再做太多解釋了。很多這類問題之所以存在，都是因為沒有意識到數學是我們可以隨需求去塑造的工具才產生的。如果定義次方是為了連乘，那麼 0 次方本來就是沒意義的邊界情況，不用定義。所以 0 次方、負數次方以及其他非整數次方，應該視為一種擁有良好的運算性質的廣義化定義，一種新的運算工具。只要是工具，就應該根據我們擴展這樣的定義的時候的需求而去處理特殊情況。在不同的數學領域需求不同，像是分析學可能就需要確保 0 的 0 次方的定義可以與極限、逼近等等規則和諧相處，但是離散數學就未必需要取極限這種遊戲規則。因此如果在這些領域定義成 1 比較方便，那就定義成 1。如果在分析上發現每個方向逼近的極限會不一致，那就說他是不定式。大原則，不管是 1 或是什麼奇怪的東西，只要能優雅的解決手上問題的，就是好定義。
實數並不實，虛數也不虛
我想我跟大部分的人一樣，在剛學到虛數與複數的概念，都非常被這樣的概念給迷惑：「如果虛數 i 不是真的，那到底我要用什麼態度來面對這種數字？當我在運算它的時候，我到底在幹麻？」歷史上的數學家剛發現負數的時候，可能也會覺得這樣的東西難以對應到現實，所以說這東西是假的。同樣的態度也發生於我們第一次發現虛數的時候，我們說這東西是「虛」的，因為在幾百年前我們還找不到它在現實的對應，也就是這樣的遊戲似乎沒辦法拿來描述現實的任何面向。但在今日我們可以非常習慣的使用笛卡爾座標系並在各軸上標出負數與正數，複數也被廣泛應用在工程或是量子力學中。如果某個數學結構為「真實」的定義為「實用、可以找到被其所描述的同構對象」，那顯然我們現在可以說虛數是再真實不過了。
但我認為這並不是一個很好的「真實」的定義，何謂「真實」與何為「虛假」 ——就如同數學是遊戲 ——也是我們玩的語言遊戲。如果遊戲規則設的不好，我們可能還會反過來被自己的語言困惑。打造好的定義，是一個很實際的工程問題，是思想與語言的工程。關於何謂真實，我大概得要在寫一整篇來釐清。但我的「真實」很簡單，一切我可以感覺到的，皆為真實且「存在」，而我們剩下的任務只有務實的描述各個事物與現象以什麼樣子的方式存在而已。
虛數，以及各種數學結構皆存在，其以一套規則、一個遊戲、一個思考的工具的方式存在。這個工具的產生，是我們在玩多項式的遊戲中的意外產物。多項式沒有解？那有什麼關係！當沒有解的時候我們就說沒有解，這是一種玩法。可是像我前面所講的，數學家喜歡優雅、平滑的遊戲，喜歡沒有例外。當初人們把 0 加進遊戲，再把負數加進遊戲，然後又在擴展為有理數、實數，每一個階段我們都在更加完善我們的工具。一旦我們也讓 x² = -1 有個解，叫做 i ，我們就創造了新的遊戲。這個新的遊戲會是舊的遊戲的自然的延伸，其中的算術規則會很神奇的與舊有規則相容，而且任何多項式在新的遊戲裡必定有解。在代數裡面這個模式有比較抽象的名子，叫做 Algebraic closure。我們不只可以對實數要求多項式總是要有解來得到複數，我們可以也可以對所有的體 (Field) 來做一樣的事來得到他們的 Algebraic closure。所以，我們看清楚了虛數不過是我們遊戲過程中的產物，並沒有什麼特別的。就算今天它被套用在量子力學也不會像某前台大校長所說的代表什麼超自然力量。這提醒我們正確的命名事物有多麼重要，因為虛數這個名子引起我們錯誤的想像。我們大可以把量子力學建築在別的同構但不同名的數學結構上頭，量子力學一樣會運作，所以不應該過度解讀其名子。
虛數並不虛，反之，其實實數一直也沒有這麼實。數學一直都是我們創造出來的工具，實數也不過是因為其方便性而被採用，誰知道這個世界是否如實數般稠密呢？你現在用來閱讀這篇文章的螢幕都是離散的像素所組成的，可是你看起來卻是連續的，所以其實世界也不需要真的完美的連續才能看起來連續。所有在螢幕上移動的影像都不是連續的移動而是每秒 60 次的離散跳動。可是如果你要描述螢幕上的物件移動最好還是使用實數，因為它提供你微積分以及連續的數字來描述物體路徑。
科學
在我文章開頭還提到最後一個問題，關於大自然如何可以被數學描述的問題。我的答案是如此: 世界本身存在結構，而我們的智慧使我們也可以隨意造出各種結構。只要我們在眾多的嘗試中，成功找到與我們欲描述的對象的同構物，那麼我們就成功推進了科學的發展。
現代的機器學習理論，描述一個機器如何在觀察許多組例子之後，自動找到一個假說，來描述變數之間的關係。如果看到許多圖片並被告知其中是否有貓咪，那麼在足夠的觀察之後，機器就能夠自動找到一連串的計算，使的任何圖片經過這層層計算就可以被判斷是否有貓咪在其中。同理，如果讓其觀測許多球在空中移動的路徑，我們也可以得到一個關於拋體運動的「理論」、一個可以預測物理行為的機器。雖然不常看到這樣的說法，可是機器學習理論，廣義來看應被識作經驗主義的基礎，其描述了一個主體如何可以透過經驗的累積，來獲得一種近似的同構物或是模型使其可以模擬與預測某對象。再說，世界上的任何東西都可以被視為一種機器，所以我談論的不是機器學習的技巧如何可以被應用在科學，而是整個科學的社群就是一個不斷觀測物理現象並且生產出假說的機器。
我們往往只看到物理學成功的一面，我們記得歷史上幾個大名如牛頓或是愛因斯坦以及他們之成就，我們也看到並讚嘆我們找到的規則之簡單與精準。但事實上有太多失敗的理論，我們根本就沒機會看到他們。整個科學社群更像是一台實做出基因演算法（genetic algorithms）的機器一樣，新的假說不斷產生並且被驗證是否符合我們欲描述的現象，幸運的勝者獲得諾貝爾獎。敗者也會在被遺忘前重新拆解、混合進新的理論當中。在這些成功的理論所搭建出的屋簷底下，是血汗的童工工廠，不定期產出各種新產品。數學家是小孩，因為他們愛造遊戲。物理學家也是小孩，因為他們愛玩玩具。他們調皮的拿各種奇怪結構在現實的臉上比劃，這樣胡鬧！
我們現在已經看到訓練當代的神經網路有多耗費能量，但我們忘記看到，這台科學機器為了找到正確的理論，它要吞食多少陽光與石油才產出難得的珍珠！知識的代價比我們想像的還高許多。使這台機器運作不可或缺的核心力量，是其中人們的對真相的飢餓、想要玩耍的欲望、生命想要擴張的傾向與虛榮心。看哪！這樣的急不可耐的怪獸是如何以它地球大的眼睛向太空張望？它如何迫切的想要一切事物都在其身上留下腳印？它如何貪婪的想要將一切納入它的掌控之中，使其也成為它身體的一部分？
結語
其實還有一些問題我沒有處理，像是數學是被「發明」或被「發現」這個問題，這我覺得一樣是由於我們語言中的概念結構不好所衍生的問題。或是在我說數學工具的選擇是由經驗決定的時候，還沒有很完整解釋何為「經驗」。關於何為「真實」，感覺也還有很多可以說。但由於怕這篇會寫太長，所以點到為止。
其實不是只有數學物件是抽象的，我們所說的杯子、上面、時間、空間、形狀等也都是我們創造出來描述世界的抽象概念。所以數學這個領域的邊界是很模糊的，只要這些抽象的概念或結構變得可以被嚴謹的處理，有明確的運算規則，就可以變成數學的一部分。
我覺得很多學數學的學生之所以對一些基本問題困惑，是因為很多數學老師也未必清楚數學是什麼。我們透過足夠的練習與背誦，往往能夠學起來如何操作數學物件，但常常我們會在這樣的過程中變得難以將自身抽離出來，來重新觀察數學在人的認知過程中扮演的角色。一旦我們認清楚數學本身是我們創造的工具，也可以單純的作為一場遊戲，就像我們可以隨意創造出各種遊戲一樣，我們也可以隨意創造出我們想要的結構來描述這個世界，我們才更好地認識了數學。
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